שירותים לחוקרים
באקדמיה

שירותי מחקר לעסקים

מבחן פרידמן (Friedman Test)

מבחן פרידמן הוא המקבילה הלא פרמטרית לניתוח שונות במדידות חוזרות. הוא בודק האם קיים הבדל בין שלוש מדידות או יותר שנעשו באותם נבדקים, כאשר הנתונים אינם מתאימים לניתוח פרמטרי: המשתנה נמדד בסולם סדר, ההתפלגות אינה נורמלית או המדגם קטן.

תוכן עניינים

מה זה מבחן פרידמן

מה שמייחד את המבחן הזה הוא אופן הדירוג. בניגוד למבחנים לא פרמטריים אחרים, שבהם כל התצפיות מדורגות יחד, כאן הדירוג מתבצע בתוך כל נבדק בנפרד. אם לנבדק מסוים יש שלוש מדידות, המדידה הנמוכה ביותר שלו מקבלת דירוג 1, הבאה אחריה 2 והגבוהה 3. כך עושים לכל נבדק בנפרד, ולאחר מכן מחשבים את הדירוג הממוצע של כל מדידה על פני כל הנבדקים.

הרעיון אלגנטי: כל נבדק משמש כביקורת של עצמו. אין זה משנה אם נבדק אחד נמצא באופן קבוע ברמה גבוהה ואחר ברמה נמוכה, משום שאנחנו מסתכלים רק על הסדר הפנימי אצל כל אחד מהם. אם אין שינוי אמיתי בין המדידות, סדר הדירוגים אצל כל נבדק יהיה אקראי, וכל המדידות יקבלו דירוג ממוצע דומה, קרוב לממוצע האפשרי. אם קיים שינוי שיטתי, מדידה מסוימת תזכה בעקביות בדירוג גבוה.

הסטטיסטי מחושב כך:

\[ \chi_F^2 = \frac{12}{nk(k+1)} \sum_{j=1}^{k} R_j^2 – 3n(k+1) \]

כאשר \(n\) הוא מספר הנבדקים, \(k\) מספר המדידות ו-\(R_j\) סכום הדירוגים של מדידה מסוימת. הסטטיסטי מתפלג בקירוב כמו חי בריבוע עם \(k-1\) דרגות חופש.

כמו כל מבחן גורף, גם כאן תוצאה מובהקת אינה מלמדת בין אילו מדידות קיים ההבדל, ונדרשים מבחני המשך.

מתי משתמשים במבחן פרידמן

המבנה הנדרש: אותם נבדקים נמדדו בשלושה תנאים או יותר, באותו משתנה ובאותו סולם. אם יש שתי מדידות בלבד, המבחן המתאים הוא מבחן וילקוקסון. אם הקבוצות בלתי תלויות, כלומר כל נבדק נמדד פעם אחת, המבחן המתאים הוא מבחן קרוסקל-וואליס.

מצבים אופייניים

מעקב לאורך זמן בסולם סדר. חוקרת מודדת עוצמת כאב בסולם של אחת עד עשר בשלוש נקודות זמן: לפני הטיפול, שבוע אחריו וחודש אחריו. הסולם סדרתי והמדגם קטן, ולכן המבחן מתאים.

השוואה בין תנאים ניסויים. נבדקים מבצעים משימה בארבעה תנאים שונים, וזמן הביצוע מוטה מאוד ימינה בשל מיעוט נבדקים איטיים במיוחד.

דירוג העדפות. נבדקים מדרגים חמישה מוצרים, חמש חלופות מדיניות או חמישה סוגי שירות מהמועדף לפחות מועדף. כאן הנתונים כבר מגיעים כדירוגים, וזהו המבחן הטבעי ביותר עבורם.

השוואה בין תת-סולמות. חוקר בודק האם קיים הבדל בין ארבעה תת-סולמות של שאלון, כאשר כולם נמדדים באותו סולם ליקרט ומולאו על ידי אותם משיבים.

הנחות היסוד

  • אותם נבדקים בכל התנאים. נבדק שחסרה לו אפילו מדידה אחת מוצא מהניתוח כולו. אם הנשירה גדולה, שקלו מודלים ליניאריים מעורבים.
  • המשתנה סדרתי או רציף, ואפשר לדרג אותו בתוך כל נבדק.
  • כל המדידות נעשו באותו סולם. אי אפשר לדרג יחד ציון בסולם של אחת עד חמש וציון בסולם של אחת עד מאה.
  • הנבדקים בלתי תלויים זה בזה.

יתרון חשוב של המבחן הוא שאינו דורש את הנחת הספריות, המטרידה כל כך בניתוח מדידות חוזרות פרמטרי. פירוט על ההנחה הזו תמצאו בערך ניתוחי מדידות חוזרות.

איך מחשבים מבחן פרידמן ב-SPSS, שלב אחר שלב

מבנה הקובץ

הקובץ חייב להיות במבנה רחב: שורה אחת לכל נבדק, ועמודה נפרדת לכל מדידה. שלוש נקודות זמן פירושן שלוש עמודות. אין צורך במשתנה מקבץ.

המסלול הקלאסי

  1. בחרו Analyze, ואז Nonparametric Tests, ואז Legacy Dialogs, ואז K Related Samples.
  2. העבירו את כל עמודות המדידה לתיבה Test Variables, לפי הסדר הכרונולוגי הנכון.
  3. ודאו שתחת Test Type מסומן Friedman.
  4. לחצו על Statistics וסמנו Descriptive ו-Quartiles, כדי לקבל חציונים לדיווח.
  5. לחצו Continue ואז OK.

האשף החדש, המומלץ

גם כאן המסלול החדש עדיף, משום שהוא מפיק השוואות זוגיות מתוקנות:

  1. בחרו Analyze, ואז Nonparametric Tests, ואז Related Samples.
  2. בלשונית Fields העבירו את כל עמודות המדידה לתיבה Test Fields.
  3. בלשונית Settings בחרו Customize tests, סמנו Friedman's 2-way ANOVA by ranks (k samples) ובחרו בתפריט שלצדו All pairwise.
  4. לחצו Run, ולחצו לחיצה כפולה על שורת התוצאה כדי לפתוח את חלון Model Viewer עם טבלת ההשוואות הזוגיות.

מבחני המשך ידניים

אם אתם עובדים במסלול הקלאסי, מבחני ההמשך המקובלים הם סדרת מבחני וילקוקסון על כל זוג מדידות, עם תיקון בונפרוני. בשלוש מדידות יש שלושה זוגות, ולכן הסף המתוקן הוא 0.05 חלקי 3, כלומר 0.017. בארבע מדידות יש שישה זוגות והסף הוא 0.008.

סינטקס

NPAR TESTS
  /FRIEDMAN=Pain1 Pain2 Pain3
  /STATISTICS=DESCRIPTIVES QUARTILES
  /MISSING LISTWISE.

הגרסה המודרנית, הכוללת השוואות זוגיות:

NPTESTS
  /RELATED TEST(Pain1 Pain2 Pain3)
    FRIEDMAN(COMPARE=PAIRWISE)
  /MISSING SCOPE=LISTWISE USERMISSING=EXCLUDE
  /CRITERIA ALPHA=0.05 CILEVEL=95.

מבחני המשך ידניים בתיקון בונפרוני:

NPAR TESTS
  /WILCOXON=Pain1 Pain1 Pain2 WITH Pain2 Pain3 Pain3 (PAIRED)
  /STATISTICS=QUARTILES.

איך קוראים את התוצאות

טבלת הדירוגים

Mean Rank
Pain1 (before) 2.72
Pain2 (one week) 2.05
Pain3 (one month) 1.23

שימו לב לטווח הערכים. בשלוש מדידות הדירוג הממוצע חייב לנוע בין 1 ל-3, והממוצע האפשרי הוא 2. בדוגמה זו ניכרת ירידה עקבית: המדידה הראשונה מדורגת גבוה והשלישית נמוך. זהו התיאור המילולי של התוצאה.

טבלת המבחן

Value
N 28
Chi-Square 32.14
df 2
Asymp. Sig. <.001

שימו לב לערך N. אם הוא נמוך ממספר הנבדקים בקובץ, פירוש הדבר שנבדקים עם ערכים חסרים הוצאו מהניתוח, וכדאי לבדוק זאת לפני הדיווח. ערך המובהקות כאן קטן מ-0.05, ולכן קיים הבדל מובהק בין נקודות הזמן.

וכך נראית תוצאה שאינה מובהקת:

Value
N 28
Chi-Square 1.87
df 2
Asymp. Sig. .393

הדירוגים הממוצעים יהיו במקרה כזה קרובים מאוד ל-2 בכל שלוש המדידות.

טבלת ההשוואות הזוגיות

Sample 1 – Sample 2 Test Statistic Std. Error Sig. Adj. Sig.
Pain3 – Pain2 -0.82 0.27 .002 .007
Pain3 – Pain1 -1.49 0.27 <.001 <.001
Pain2 – Pain1 -0.67 0.27 .013 .038

גם כאן העמודה הקובעת היא Adj. Sig. בדוגמה זו כל שלוש ההשוואות מובהקות, כלומר חלה ירידה מובהקת בכל מעבר בין נקודות הזמן.

גודל אפקט

המדד המקובל הוא W של קנדל, הנע בין 0 ל-1 ומבטא את מידת ההסכמה בין הנבדקים בסדר הדירוג:

\[ W = \frac{\chi_F^2}{n(k-1)} \]

בדוגמה שלנו: 32.14 חלקי 28 כפול 2, כלומר 0.57. ערך קרוב ל-1 מעיד על כך שכמעט כל הנבדקים הראו את אותו סדר, וערך קרוב ל-0 מעיד על סדר אקראי. פירוש מקובל: 0.10 קטן, 0.30 בינוני, 0.50 גדול. באשף החדש של SPSS המדד מופיע אוטומטית בגרסאות האחרונות.

איך מדווחים על התוצאות לפי APA

הסטטיסטי מדווח בסימון חי בריבוע, בציון מספר הנבדקים, ולצדו הדירוגים הממוצעים והחציונים.

נוסח לדוגמה, תוצאה מובהקת

"מאחר שעוצמת הכאב נמדדה בסולם סדר, נערך מבחן פרידמן לבחינת השינוי בין שלוש נקודות המדידה. נמצא שינוי מובהק, χ²F(2, N = 28) = 32.14, p < .001, W = .57. הדירוגים הממוצעים ירדו בעקביות מהמדידה שלפני הטיפול (2.72) דרך המדידה שלאחר שבוע (2.05) ועד המדידה שלאחר חודש (1.23). השוואות זוגיות בתיקון בונפרוני העלו כי כל שלושת ההפרשים מובהקים: בין המדידה הראשונה לשנייה, p = .038, בין השנייה לשלישית, p = .007, ובין הראשונה לשלישית, p < .001."

נוסח לדוגמה, תוצאה שאינה מובהקת

"מבחן פרידמן לא העלה שינוי מובהק בעוצמת הכאב בין שלוש נקודות המדידה, χ²F(2, N = 28) = 1.87, p = .393, W = .03."

טבלה לדוגמה

טבלה 1: חציונים ודירוגים ממוצעים של עוצמת הכאב בשלוש נקודות מדידה

נקודת מדידה Mdn (IQR) דירוג ממוצע
לפני הטיפול 7.00 (2.00) 2.72
שבוע לאחר הטיפול 5.00 (2.00) 2.05
חודש לאחר הטיפול 3.00 (2.50) 1.23

הערה מתחת לטבלה: "N = 28. χ²F(2) = 32.14, p < .001, W = .57."

לגרסה הפרמטרית ראו ניתוחי מדידות חוזרות, ולמערך המשלב קבוצות ונקודות זמן ראו ניתוח שונות מעורב.