מודלים ליניאריים מעורבים והיררכיים (HLM)

מודלים ליניאריים מעורבים, המכונים גם מודלים היררכיים או Linear Mixed Models, נועדו לנתח נתונים מקוננים, כלומר נתונים שבהם התצפיות מקובצות בתוך יחידות גדולות יותר: תלמידים בתוך כיתות, עובדים בתוך מחלקות, מדידות חוזרות בתוך נבדק. הם מטפלים בתלות שבין תצפיות מאותה יחידה, תלות שכל הניתוחים הרגילים מניחים שאינה קיימת.

תוכן עניינים

• מה זה מודל ליניארי מעורב
• מתי משתמשים במודלים מעורבים
• איך מבצעים ניתוח מודל מעורב ב-SPSS, שלב אחר שלב
• איך קוראים את התוצאות
• איך מדווחים על התוצאות לפי APA

מה זה מודל ליניארי מעורב

כמעט כל הניתוחים הסטטיסטיים המקובלים מניחים שהתצפיות בלתי תלויות זו בזו. במציאות המחקרית ההנחה הזו מופרת לעתים קרובות. תלמידים באותה כיתה חולקים את אותו מורה, את אותו אקלים ואת אותם חברים, ולכן דומים זה לזה יותר מאשר לתלמידים מכיתה אחרת. התעלמות מהתלות הזו מובילה לשגיאות תקן קטנות מדי, ולתוצאות מובהקות באופן מלאכותי.

המודל המעורב פותר את הבעיה בכך שהוא מפריד בין שני מקורות של שונות: שונות בין הפרטים בתוך הקבוצה ושונות בין הקבוצות עצמן. השם מעורב נובע מכך שהמודל כולל שני סוגי אפקטים. אפקטים קבועים הם המקדמים הממוצעים באוכלוסייה, אלה שמעניינים אותנו בדרך כלל. אפקטים אקראיים מייצגים את השונות בין היחידות: כמה הכיתות נבדלות זו מזו ברמת הפתיחה שלהן, וכמה הן נבדלות בעוצמת הקשרים שבתוכן.

המודל הפשוט ביותר מכונה מודל חותך אקראי, ובו כל קבוצה מקבלת נקודת פתיחה משלה:

\[ Y_{ij} = \gamma_{00} + \gamma_{10}X_{ij} + u_{0j} + e_{ij} \]

כאשר \(\gamma_{00}\) הוא הממוצע הכללי, \(\gamma_{10}\) הוא האפקט הקבוע של המנבא, \(u_{0j}\) הוא הסטייה של הקבוצה מהממוצע הכללי ו-\(e_{ij}\) היא שגיאת הפרט. מודל מורכב יותר מתיר גם לשיפוע להשתנות בין הקבוצות, וזהו מודל שיפוע אקראי.

המדד הראשון שבודקים נקרא מקדם המתאם התוך-מחלקתי, המסומן ICC. הוא מבטא איזה חלק מהשונות הכוללת נובע מההבדלים בין הקבוצות:

\[ ICC = \frac{\sigma^2_{u_0}}{\sigma^2_{u_0} + \sigma^2_e} \]

ערך של 0.05 ומעלה נחשב בדרך כלל מספיק כדי להצדיק את השימוש במודל מעורב.

מתי משתמשים במודלים מעורבים

נתונים מקוננים בשתי רמות

המקרה הקלאסי: תלמידים בתוך כיתות, מטופלים בתוך מרפאות, עובדים בתוך צוותים. המנבאים יכולים להיות ברמת הפרט, למשל מוטיבציה של תלמיד, או ברמת הקבוצה, למשל גודל הכיתה. המודל מטפל בשתי הרמות בו-זמנית, ומאפשר גם לבחון אינטראקציות ביניהן.

מדידות חוזרות

כאשר כל נבדק נמדד כמה פעמים, המדידות מקוננות בתוך הנבדק. המודל מהווה חלופה גמישה לניתוח מדידות חוזרות הקלאסי, ויתרונותיו ניכרים: הוא אינו דורש את הנחת הספריות, אינו מוחק נבדקים בעלי מדידות חסרות, ומאפשר מרווחי זמן לא אחידים בין המדידות. במחקרי מעקב עם נשירה זהו כמעט תמיד הניתוח העדיף.

יומני יום ומדידות אינטנסיביות

מחקרים שבהם נבדקים ממלאים שאלון קצר מדי יום במשך שבועות. מדובר בעשרות תצפיות לכל נבדק, ומודל מעורב הוא הכלי הטבעי לנתח אותן.

מבנה מקונן בשלוש רמות

תלמידים בתוך כיתות בתוך בתי ספר, או מדידות בתוך נבדקים בתוך מרפאות. המודל מרחיב בקלות למספר רמות.

מתי לא נדרש

אם ה-ICC קרוב לאפס, כלומר אין כמעט שונות בין הקבוצות, אפשר להסתפק ברגרסיה רגילה. עם זאת, כאשר המבנה המקונן קיים בתכנון המחקר, מקובל לדווח על ה-ICC גם אם הוא נמוך, ולהסביר מדוע נבחרה הגישה הפשוטה.

תנאים והנחות

• מספר יחידות מספיק ברמה העליונה. כלל אצבע מקובל הוא לפחות שלושים קבוצות, ורצוי חמישים ומעלה. מספר קטן של קבוצות מוביל לאמידה לא יציבה של רכיבי השונות.
• נורמליות של השאריות בכל אחת מהרמות.
• קשרים ליניאריים.
• מבנה מקונן ברור. כל תצפית שייכת ליחידה אחת בלבד ברמה העליונה. אם היא שייכת לכמה יחידות, למשל תלמיד הלומד אצל כמה מורים, נדרש מודל צולב.
• החלטה על מרכוז המנבאים. מנבא ברמת הפרט אפשר למרכז סביב הממוצע הכללי או סביב ממוצע הקבוצה. הבחירה משנה את משמעות המקדמים, ויש להסביר אותה בדיווח.

איך מבצעים ניתוח מודל מעורב ב-SPSS, שלב אחר שלב

מבנה הקובץ

הקובץ חייב להיות במבנה ארוך, וזהו הבדל מהותי מניתוח מדידות חוזרות רגיל. כל תצפית מקבלת שורה משלה. אם יש מאה תלמידים בעשר כיתות, יהיו מאה שורות ובכל אחת מהן עמודת מזהה כיתה. אם יש שלושים נבדקים בארבע מדידות, יהיו מאה עשרים שורות ובכל אחת מהן מזהה נבדק ומספר מדידה.

שלב ראשון, מודל ריק לחישוב ICC

1. בחרו Analyze, ואז Mixed Models, ואז Linear.
2. בחלון הפתיחה, העבירו את משתנה המזהה של הרמה העליונה, למשל מזהה הכיתה, לתיבה Subjects. לחצו Continue.
3. העבירו את המשתנה התלוי לתיבה Dependent Variable. אל תעבירו מנבאים בשלב זה.
4. לחצו על Random. סמנו Include intercept, בחרו בתפריט Covariance Type את האפשרות Variance Components, והעבירו את משתנה המזהה לתיבה Combinations. לחצו Continue.
5. לחצו על Estimation ובחרו Maximum Likelihood אם בכוונתכם להשוות בין מודלים.
6. לחצו על Statistics וסמנו Parameter estimates, Tests for covariance parameters ו-Covariances of random effects.
7. לחצו OK, וחשבו את ה-ICC מתוך שני רכיבי השונות שבפלט.

שלב שני, הוספת מנבאים

1. חזרו לאותו חלון. העבירו מנבאים קטגוריאליים לתיבה Factor(s) ומנבאים רציפים לתיבה Covariate(s).
2. לחצו על Fixed, העבירו את כל המנבאים לתיבה Model ולחצו Continue. כאן אפשר לבנות גם אינטראקציות בין רמות.
3. אם ברצונכם מודל שיפוע אקראי, לחצו על Random והעבירו לתיבת המודל גם את המנבא שאת השיפוע שלו אתם מתירים להשתנות. בחרו Unstructured בתפריט Covariance Type.
4. לחצו OK.

סינטקס

מודל ריק לחישוב ICC:

MIXED Achievement
  /FIXED=| SSTYPE(3)
  /METHOD=ML
  /PRINT=SOLUTION TESTCOV
  /RANDOM=INTERCEPT | SUBJECT(ClassID) COVTYPE(VC).

מודל חותך אקראי עם מנבאים בשתי רמות:

MIXED Achievement WITH Motivation ClassSize
  /FIXED=Motivation ClassSize | SSTYPE(3)
  /METHOD=ML
  /PRINT=SOLUTION TESTCOV
  /RANDOM=INTERCEPT | SUBJECT(ClassID) COVTYPE(VC).

מודל שיפוע אקראי:

MIXED Achievement WITH Motivation ClassSize
  /FIXED=Motivation ClassSize Motivation*ClassSize | SSTYPE(3)
  /METHOD=ML
  /PRINT=SOLUTION TESTCOV
  /RANDOM=INTERCEPT Motivation | SUBJECT(ClassID) COVTYPE(UN).

איך קוראים את התוצאות

רכיבי השונות במודל הריק

Parameter	Estimate	SE	Wald Z	Sig.
Residual (within, σ²e)	68.42	3.14	21.79	<.001
Intercept variance (between, σ²u0)	14.86	4.02	3.70	<.001

חישוב ה-ICC: 14.86 חלקי הסכום 83.28, כלומר 0.178. פירוש הדבר ש-17.8 אחוזים מהשונות בהישגים נובעים מההבדלים בין הכיתות. זהו ערך גבוה המצדיק בבירור את השימוש במודל מעורב. שונות החותך נמצאה מובהקת, מה שמאשש את המסקנה.

וכך נראה מצב שבו המודל אינו נדרש:

Parameter	Estimate	SE	Sig.
Residual	72.14	3.28	<.001
Intercept variance	1.02	0.88	.246

כאן ה-ICC הוא 0.014 בלבד, ושונות החותך אינה מובהקת. אין הצדקה מהותית למודל היררכי.

טבלת האפקטים הקבועים

זוהי הטבלה שממנה מדווחים על הממצאים המרכזיים, והיא מכונה בפלט Estimates of Fixed Effects.

Parameter	Estimate	SE	df	t	Sig.	95% CI
Intercept	72.14	1.42	38.2	50.80	<.001	[69.27, 75.01]
Motivation	2.86	0.34	842.6	8.41	<.001	[2.19, 3.53]
ClassSize	-0.41	0.18	37.4	-2.28	.028	[-0.78, -0.04]

הפרשנות דומה לזו של רגרסיה. עלייה של יחידה במוטיבציה קשורה לעלייה של 2.86 נקודות בהישגים, בהינתן גודל הכיתה. תלמיד בכיתה גדולה יותר בתלמיד אחד צפוי להישג נמוך ב-0.41 נקודות. שימו לב לדרגות החופש: הן שונות מאוד בין המנבאים, ומשקפות את הרמה שאליה שייך כל אחד. מנבא ברמת הפרט מקבל דרגות חופש רבות, ומנבא ברמת הכיתה מקבל דרגות חופש כמספר הכיתות בקירוב. זהו בדיוק התיקון שהמודל מבצע ושרגרסיה רגילה מחמיצה.

השוואה בין מודלים

מדד הפחתת השונות מקביל ל-R בריבוע: משווים את רכיב השונות במודל הריק לזה שבמודל עם המנבאים. אם השונות בתוך הכיתות ירדה מ-68.42 ל-54.12, ההפחתה היא 20.9 אחוזים. בנוסף אפשר להשוות בין מודלים באמצעות מדד AIC או מבחן יחס נראות, וערך AIC נמוך יותר מעיד על מודל טוב יותר.

שונות השיפועים

במודל שיפוע אקראי, אם רכיב השונות של השיפוע מובהק, פירוש הדבר שעוצמת הקשר בין המנבא למשתנה התלוי אינה זהה בכל הכיתות. זהו ממצא מעניין בפני עצמו, והשלב הבא הוא לחפש משתנה ברמת הכיתה שיסביר את ההבדל, כלומר לבחון אינטראקציה בין רמות.

איך מדווחים על התוצאות לפי APA

נוסח לדוגמה

"מאחר שהתלמידים מקוננים בתוך כיתות, נערך ניתוח מודל ליניארי מעורב. במודל הריק נמצאה שונות מובהקת בין הכיתות בחותך, σ²u0 = 14.86, SE = 4.02, p < .001, ומקדם המתאם התוך-מחלקתי היה .18, המעיד על כך ש-18% מהשונות בהישגים נובעים מההבדלים בין הכיתות. לפיכך נבחר מודל מעורב עם חותך אקראי. ברמת הפרט נמצאה המוטיבציה מנבא מובהק של ההישגים, b = 2.86, SE = 0.34, t(842.60) = 8.41, p < .001, 95% CI [2.19, 3.53]. ברמת הכיתה נמצא גודל הכיתה מנבא מובהק שלילי, b = -0.41, SE = 0.18, t(37.40) = -2.28, p = .028. המודל הפחית 20.9% מהשונות ברמת הפרט ו-34.2% מהשונות ברמת הכיתה בהשוואה למודל הריק."

טבלה לדוגמה

טבלה 1: תוצאות המודל הליניארי המעורב לניבוי הישגים

פרמטר	מודל ריק	מודל מלא
אפקטים קבועים
חותך	71.82 (1.51)***	72.14 (1.42)***
מוטיבציה (רמת פרט)		2.86 (0.34)***
גודל כיתה (רמת כיתה)		-0.41 (0.18)*
רכיבי שונות
שונות בתוך כיתות	68.42 (3.14)***	54.12 (2.61)***
שונות בין כיתות	14.86 (4.02)***	9.78 (2.94)**
ICC	.178
AIC	6842.1	6714.8

הערה מתחת לטבלה: "N = 892 תלמידים ב-42 כיתות. בסוגריים שגיאות תקן. * p < .05, ** p < .01, *** p < .001."

לחלופה הקלאסית במדידות חוזרות ראו ניתוח שונות מעורב, ולרקע כללי ראו רגרסיה מרובה.