מבחן מאן-וויטני (Mann-Whitney U)

מבחן מאן-וויטני הוא המקבילה הלא פרמטרית של מבחן T לשתי קבוצות בלתי תלויות. הוא משמש כאשר רוצים להשוות בין שתי קבוצות נפרדות, אך הנתונים אינם עומדים בתנאים הנדרשים למבחן פרמטרי: המדגם קטן, ההתפלגות רחוקה מנורמלית או המשתנה התלוי נמדד בסולם סדר.

תוכן עניינים

• מה זה מבחן מאן-וויטני
• מתי משתמשים במבחן מאן-וויטני
• איך מחשבים מבחן מאן-וויטני ב-SPSS, שלב אחר שלב
• איך קוראים את התוצאות
• איך מדווחים על התוצאות לפי APA

מה זה מבחן מאן-וויטני

הרעיון שבבסיס המבחן הוא ויתור על הערכים המספריים עצמם ומעבר לדירוגים. התוכנה לוקחת את כל התצפיות משתי הקבוצות יחד, מסדרת אותן מהנמוכה לגבוהה ומעניקה לכל אחת דירוג: 1 לנמוכה ביותר, 2 לבאה אחריה וכן הלאה. לאחר מכן היא מחשבת את סכום הדירוגים בכל קבוצה בנפרד. אם אין הבדל בין הקבוצות, הדירוגים הגבוהים והנמוכים יתפזרו באופן דומה בשתיהן, וסכומי הדירוגים יהיו קרובים לצפוי. אם קבוצה אחת נוטה לערכים גבוהים, היא תרכז את הדירוגים הגבוהים.

הסטטיסטי U מבטא את מספר הפעמים שתצפית מקבוצה אחת גדולה מתצפית מהקבוצה השנייה, ומחושב כך:

\[ U_1 = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} – R_1 \]

כאשר \(n_1\) ו-\(n_2\) הם גדלי הקבוצות ו-\(R_1\) הוא סכום הדירוגים בקבוצה הראשונה. במדגמים גדולים מעשרים בקירוב, SPSS ממיר את הערך לציון תקן ומדווח גם ערך Z.

המעבר לדירוגים הוא מקור העמידות של המבחן. תצפית חריגה קיצונית, שהייתה מטלטלת ממוצע וסטיית תקן, תקבל כאן פשוט את הדירוג האחרון ותשפיע השפעה מוגבלת. המחיר הוא אובדן מסוים של עוצמה סטטיסטית כאשר ההנחות הפרמטריות דווקא מתקיימות, אך בפועל המחיר הזה קטן מכפי שנהוג לחשוב.

נקודה שחשוב לדייק בה: המבחן אינו משווה ממוצעים. כאשר צורת ההתפלגות דומה בשתי הקבוצות, אפשר לפרש אותו כהשוואה בין חציונים. כאשר צורת ההתפלגות שונה, הפרשנות המדויקת היא שההסתברות שתצפית אקראית מקבוצה אחת תהיה גבוהה מתצפית אקראית מהקבוצה השנייה שונה מחצי.

מתי משתמשים במבחן מאן-וויטני

המבנה הנדרש זהה לזה של מבחן T למדגמים בלתי תלויים: משתנה בלתי תלוי קטגוריאלי בעל שתי קטגוריות, ומשתנה תלוי אחד. ההבדל הוא בתנאים שבהם בוחרים במבחן זה.

המשתנה התלוי נמדד בסולם סדר

זהו המקרה הברור ביותר. דירוג שביעות רצון בסולם של חמש דרגות, שלב במחלה, רמת חומרה, מיקום בתחרות. במשתנים כאלה ההפרש בין דרגה שנייה לשלישית אינו בהכרח זהה להפרש בין שלישית לרביעית, ולכן חישוב ממוצע אינו תקף מבחינה מתמטית.

ההתפלגות אינה נורמלית

כאשר בדיקת נורמליות, למשל מבחן שפירו-וילק, מעלה סטייה מובהקת מנורמליות, וההתפלגות נראית מוטה בבירור, המבחן הלא פרמטרי הוא הבחירה הבטוחה. הדבר שכיח במיוחד במשתנים כמו זמן תגובה, מספר אירועים, הכנסה או ותק.

מדגם קטן

כאשר בכל קבוצה פחות משלושים נבדקים בקירוב, אי אפשר להסתמך על משפט הגבול המרכזי, ובדיקת הנורמליות עצמה חסרת עוצמה. במצב כזה נהוג להעדיף את המבחן הלא פרמטרי.

קיימות תצפיות חריגות קיצוניות

כאשר יש בנתונים ערכים חריגים אמיתיים שאין הצדקה מתודולוגית להסיר, המבחן הלא פרמטרי מספק תשובה יציבה יותר.

הנחות היסוד

אין להסיק מן השם "לא פרמטרי" שאין הנחות כלל:

• אי-תלות בין התצפיות ובין הקבוצות. כל נבדק שייך לקבוצה אחת בלבד ונמדד פעם אחת. אם אותם נבדקים נמדדו פעמיים, המבחן המתאים הוא מבחן וילקוקסון.
• המשתנה התלוי רציף או סדרתי. משתנה קטגוריאלי אמיתי מחייב מבחן חי בריבוע.
• צורת התפלגות דומה בשתי הקבוצות, אם ברצוננו לפרש את התוצאה כהשוואת חציונים. אפשר לבדוק זאת בעין באמצעות היסטוגרמות או תרשימי קופסה.

איך מחשבים מבחן מאן-וויטני ב-SPSS, שלב אחר שלב

ב-SPSS יש שני מסלולים למבחן. הראשון הוא המסלול הישן, המפיק פלט קומפקטי וברור, והשני הוא אשף המבחנים החדש, המפיק פלט גרפי מפורט יותר.

המסלול הקלאסי

1. בחרו Analyze, ואז Nonparametric Tests, ואז Legacy Dialogs, ואז 2 Independent Samples.
2. העבירו את המשתנה התלוי לתיבה Test Variable List. אפשר להעביר כמה משתנים תלויים בבת אחת, וכל אחד ייבדק בנפרד.
3. העבירו את משתנה הקבוצה לתיבה Grouping Variable.
4. לחצו על Define Groups והזינו את שני הקודים המספריים של הקבוצות, למשל 1 ו-2. זהו שלב הכרחי, ובלעדיו הכפתור OK לא יופעל.
5. ודאו שתחת Test Type מסומן Mann-Whitney U.
6. לחצו על Options וסמנו Descriptive ו-Quartiles. האפשרות השנייה חשובה, משום שהיא מפיקה את החציונים שאותם תדווחו.
7. לחצו Continue ואז OK.

האשף החדש

1. בחרו Analyze, ואז Nonparametric Tests, ואז Independent Samples.
2. בלשונית Objective השאירו את Automatically compare distributions across groups.
3. בלשונית Fields העבירו את המשתנה התלוי ל-Test Fields ואת משתנה הקבוצה ל-Groups.
4. בלשונית Settings אפשר לבחור Customize tests ולסמן במפורש Mann-Whitney U (2 samples).
5. לחצו Run. בפלט תופיע שורת סיכום אחת, ולחיצה כפולה עליה תפתח חלון מפורט עם היסטוגרמות של הדירוגים.

סינטקס

NPAR TESTS
  /M-W= Satisfaction BY Group(1 2)
  /STATISTICS=DESCRIPTIVES QUARTILES
  /MISSING ANALYSIS.

במדגמים קטנים כדאי להוסיף את המבחן המדויק, שאינו מסתמך על קירוב להתפלגות נורמלית:

NPAR TESTS
  /M-W= Satisfaction BY Group(1 2)
  /METHOD=EXACT TIMER(5)
  /STATISTICS=QUARTILES.

איך קוראים את התוצאות

טבלת הדירוגים

הטבלה Ranks היא הבסיס לפרשנות התוכנית של התוצאה.

Group	N	Mean Rank	Sum of Ranks
Group 1	24	30.85	740.50
Group 2	26	20.56	534.50
Total	50

עמודת Mean Rank מספרת מי גבוה יותר. כאן הקבוצה הראשונה מדורגת גבוה יותר, ולכן אם התוצאה תימצא מובהקת, הכיוון ידוע: ערכי הקבוצה הראשונה גבוהים יותר. בלי הטבלה הזו אי אפשר לדעת את כיוון ההבדל.

טבלת המבחן

	Satisfaction
Mann-Whitney U	183.50
Wilcoxon W	534.50
Z	-2.51
Asymp. Sig. (2-tailed)	.012

ערך המובהקות קטן מ-0.05, ולכן ההבדל בין הקבוצות מובהק. הסימן השלילי של Z אינו מעיד על כיוון מהותי אלא נובע מסדר הקידוד, ולכן תמיד חוזרים לטבלת הדירוגים כדי לקבוע את הכיוון.

וכך נראית תוצאה שאינה מובהקת:

	Satisfaction
Mann-Whitney U	287.00
Z	-0.74
Asymp. Sig. (2-tailed)	.461

חישוב גודל אפקט

SPSS אינו מפיק גודל אפקט למבחן זה, אך חישובו פשוט ומקובל לדווח עליו:

\[ r = \frac{|Z|}{\sqrt{N}} \]

כאשר \(N\) הוא מספר הנבדקים הכולל בשתי הקבוצות. בדוגמה שלנו: 2.51 חלקי השורש של 50, כלומר 0.36. כללי האצבע המקובלים הם 0.10 לאפקט קטן, 0.30 לבינוני ו-0.50 לגדול. במקרה שלנו מדובר באפקט בינוני.

שימו לב לערכי מובהקות מדויקים

כאשר המדגם קטן או כאשר יש דירוגים זהים רבים, SPSS מדפיס גם שורה של Exact Sig. במקרים אלה עדיף לדווח על הערך המדויק ולא על הקירוב האסימפטוטי.

איך מדווחים על התוצאות לפי APA

הדיווח כולל את ערך U, את גדלי הקבוצות, את ערך Z, את המובהקות ואת גודל האפקט. במקום ממוצעים וסטיות תקן מדווחים חציונים ותחום בין-רבעוני, שכן אלה מדדי המרכז והפיזור המתאימים לנתונים שאינם מתפלגים נורמלית. הרחבה על מדדים אלה תמצאו בערך מדדי פיזור.

נוסח לדוגמה, תוצאה מובהקת

"מאחר שהתפלגות ציוני שביעות הרצון סטתה מנורמליות, נערך מבחן מאן-וויטני לבחינת ההבדל בין שתי הקבוצות. נמצא הבדל מובהק, U = 183.50, Z = -2.51, p = .012, r = .36, כך שרמת שביעות הרצון בקבוצה הראשונה (Mdn = 4.00, IQR = 1.00, דירוג ממוצע 30.85) הייתה גבוהה מזו שבקבוצה השנייה (Mdn = 3.00, IQR = 1.25, דירוג ממוצע 20.56)."

נוסח לדוגמה, תוצאה שאינה מובהקת

"מבחן מאן-וויטני לא העלה הבדל מובהק בין הקבוצות ברמת שביעות הרצון, U = 287.00, Z = -0.74, p = .461, r = .10."

טבלה לדוגמה

טבלה 1: חציונים, תחום בין-רבעוני ותוצאות מבחן מאן-וויטני

משתנה	קבוצה 1 (n = 24) Mdn (IQR)	קבוצה 2 (n = 26) Mdn (IQR)	U	Z	p	r
שביעות רצון	4.00 (1.00)	3.00 (1.25)	183.50	-2.51	.012	.36
מעורבות	3.50 (1.50)	3.00 (1.00)	287.00	-0.74	.461	.10

לערכים לא פרמטריים נוספים ראו מבחן קרוסקל-וואליס להשוואה בין שלוש קבוצות ומעלה, ומבחן וילקוקסון למדגמים תלויים.