שירותים לחוקרים
באקדמיה

שירותי מחקר לעסקים

ניתוח שונות משותף (ANCOVA)

ניתוח שונות משותף, המוכר בשמו הלועזי ANCOVA (Analysis of Covariance), הוא ניתוח המשווה בין ממוצעי קבוצות תוך פיקוח סטטיסטי על משתנה רציף נוסף שעשוי להשפיע על התוצאה. הוא מאפשר לחוקר לשאול שאלה מדויקת יותר מזו של ניתוח שונות רגיל: לא רק האם הקבוצות נבדלות זו מזו, אלא האם הן נבדלות זו מזו גם לאחר שנטרלנו את השפעתו של גורם מפריע ידוע.

תוכן עניינים

מה זה ניתוח שונות משותף (ANCOVA)

בבסיסו של הניתוח עומד רעיון פשוט. כאשר אנחנו משווים בין קבוצות במשתנה תלוי כלשהו, חלק מההבדל שאנחנו רואים עשוי לנבוע לא מהשתייכות לקבוצה אלא ממשתנה אחר לגמרי. אם קבוצת ההתערבות פתחה מלכתחילה ברמת ידע גבוהה יותר מקבוצת הביקורת, ההבדל בציון הסופי אינו מעיד בהכרח על יעילות ההתערבות. ניתוח השונות המשותף מטפל בדיוק במצב הזה: הוא מסלק סטטיסטית את חלקו של המשתנה המפריע מן המשתנה התלוי, ורק אז משווה בין הקבוצות.

המשתנה שעליו מפקחים נקרא משתנה מלווה, ובאנגלית covariate. הוא חייב להיות משתנה רציף, כלומר בסולם רווח או מנה, ולהיות מתואם עם המשתנה התלוי. דוגמאות שכיחות למשתנים מלווים הן ציון בשאלון לפני ההתערבות, גיל, ותק, רמת השכלה מספרית או ציון במבחן יכולת קודם.

מבחינה טכנית, הניתוח משלב בין ניתוח שונות לרגרסיה ליניארית. בשלב הראשון מריצים רגרסיה של המשתנה התלוי על המשתנה המלווה, ומחשבים את השאריות, כלומר את החלק במשתנה התלוי שאינו מוסבר על ידי המשתנה המלווה. בשלב השני מריצים ניתוח שונות על השאריות האלה. המודל הכולל נראה כך:

\[ Y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta(X_{ij} – \bar{X}) + \varepsilon_{ij} \]

כאשר \(Y_{ij}\) הוא ציון הנבדק, \(\mu\) הוא הממוצע הכללי, \(\tau_i\) הוא אפקט הקבוצה, \(X_{ij}\) הוא ערך המשתנה המלווה ו-\(\beta\) הוא שיפוע הרגרסיה המשותף לכל הקבוצות.

לניתוח שתי תרומות נפרדות. הראשונה היא הפחתת הטיה: כאשר הקבוצות נבדלות זו מזו במשתנה המלווה כבר בנקודת הפתיחה, הפיקוח מונע ייחוס שגוי של ההבדל להתערבות. השנייה היא הגברת העוצמה הסטטיסטית: המשתנה המלווה בולע חלק משונות השגיאה, השונות שנותרת קטנה יותר, ולכן קל יותר לגלות אפקט אמיתי של הקבוצה גם במדגם קטן יחסית.

התוצר האופייני של הניתוח הוא ממוצעים מתוקננים, המכונים בפלט Estimated Marginal Means. אלה הממוצעים שהיינו מקבלים אילו כל הקבוצות היו שוות זו לזו בערך המשתנה המלווה. את ההשוואות בין הקבוצות מבצעים על הממוצעים המתוקננים ולא על הממוצעים הגולמיים.

מתי משתמשים בניתוח שונות משותף

הניתוח מתאים כאשר מבנה הנתונים כולל משתנה בלתי תלוי קטגוריאלי אחד או יותר, משתנה תלוי רציף אחד, ולפחות משתנה רציף אחד נוסף שברצוננו לנטרל. הנה המצבים השכיחים ביותר.

מערך של מדידה לפני ואחרי בקבוצות שונות

זהו השימוש הנפוץ ביותר. חוקרת מעבירה שאלון חרדה לפני ההתערבות ואחריה, בקבוצת התערבות ובקבוצת ביקורת. את הציון שלאחר ההתערבות היא מגדירה כמשתנה תלוי, את הציון שלפניה כמשתנה מלווה, ואת הקבוצה כמשתנה בלתי תלוי. כך היא בודקת האם הקבוצות נבדלות בציון הסופי בהינתן נקודת פתיחה זהה. הגישה הזו מדויקת יותר מהשוואת ציוני שינוי, כלומר מהפרש פשוט בין אחרי ולפני, והיא מומלצת ברוב הספרות המתודולוגית.

נטרול הבדלים דמוגרפיים בין קבוצות טבעיות

חוקר משווה בין שלושה מקומות עבודה ברמת שחיקה, אך מגלה שהוותק הממוצע שונה מאוד בין המקומות. הוותק הוא משתנה מפריע מובהק, ולכן ייכנס כמשתנה מלווה. התוצאה תשיב על השאלה האם קיים הבדל בשחיקה בין מקומות העבודה מעבר להבדל בוותק.

הגברת עוצמה במדגם קטן

גם כאשר הקבוצות אינן נבדלות זו מזו במשתנה המלווה, אם המשתנה מתואם היטב עם המשתנה התלוי כדאי לכלול אותו. הוא יקטין את שונות השגיאה ויגדיל את הסיכוי לגלות אפקט קיים. זהו שיקול חשוב במיוחד במחקרים עם מדגמים קטנים.

הנחות היסוד

לניתוח שונות משותף שתי הנחות ייחודיות משלו, מלבד ההנחות הרגילות של ניתוח שונות:

  • קשר ליניארי בין המשתנה המלווה למשתנה התלוי. אם הקשר אינו ליניארי, הפיקוח לא יעבוד כראוי. בודקים באמצעות תרשים פיזור.
  • הומוגניות של שיפועי הרגרסיה. זוהי ההנחה החשובה ביותר. הקשר בין המשתנה המלווה למשתנה התלוי צריך להיות דומה בכל הקבוצות. אם בקבוצה אחת ציון הפתיחה מנבא היטב את ציון הסיום ובקבוצה אחרת כמעט אינו מנבא, אי אפשר לתקנן באמצעות שיפוע אחיד. ההנחה נבדקת באמצעות מודל הכולל את האינטראקציה בין הגורם למשתנה המלווה, ואנחנו מקווים שהאינטראקציה לא תהיה מובהקת.
  • המשתנה המלווה נמדד ללא שגיאה ואינו מושפע מההתערבות. מכאן הכלל שהמשתנה המלווה צריך להימדד לפני ההתערבות ולא אחריה. פיקוח על משתנה שההתערבות עצמה השפיעה עליו יסלק חלק מהאפקט שאנחנו מבקשים למדוד.
  • שונויות שוות בין הקבוצות ונורמליות של השאריות, כמו בכל ניתוח שונות.

איך מבצעים ANCOVA ב-SPSS, שלב אחר שלב

הניתוח מבוצע דרך אותו מודול שבו מבוצע ניתוח שונות רגיל, בתוספת הגדרה אחת.

שלב ראשון, בדיקת הומוגניות השיפועים

לפני הניתוח עצמו יש לבדוק את הנחת השיפועים האחידים, וזאת באמצעות מודל מיוחד שאינו מודל ברירת המחדל.

  1. בחרו Analyze, ואז General Linear Model, ואז Univariate.
  2. העבירו את המשתנה התלוי לתיבה Dependent Variable, את הגורם הקטגוריאלי לתיבה Fixed Factor(s) ואת המשתנה המלווה לתיבה Covariate(s).
  3. לחצו על Model ובחרו Build terms או Custom, לפי גרסת התוכנה.
  4. העבירו לתיבת המודל את הגורם, את המשתנה המלווה, ואת האינטראקציה ביניהם. כדי ליצור את האינטראקציה, סמנו את שניהם יחד ובחרו Interaction בתפריט הנפתח.
  5. לחצו Continue ואז OK.
  6. בפלט, אתרו את שורת האינטראקציה בטבלת Tests of Between-Subjects Effects. אם היא אינה מובהקת, ההנחה מתקיימת ואפשר להמשיך. אם היא מובהקת, הניתוח אינו מתאים ויש לפנות לניתוח מותנה, למשל ניתוח משתנה ממתן.

שלב שני, הניתוח עצמו

  1. חזרו ל-Analyze, ואז General Linear Model, ואז Univariate.
  2. הגדירו שוב את המשתנה התלוי, הגורם והמשתנה המלווה.
  3. לחצו על Model וודאו שסומן Full factorial, שהוא מודל ברירת המחדל ואינו כולל את האינטראקציה עם המשתנה המלווה.
  4. לחצו על EM Means. העבירו את הגורם לתיבה הימנית, סמנו Compare main effects ובחרו Bonferroni. זהו שלב הכרחי, משום שהוא זה שמפיק את הממוצעים המתוקננים.
  5. לחצו על Options וסמנו Descriptive statistics, Estimates of effect size ו-Homogeneity tests.
  6. לחצו OK.

שימו לב שכפתור Post Hoc אינו מתאים כאן. מבחני ההמשך שבו מבוצעים על הממוצעים הגולמיים ומתעלמים מהמשתנה המלווה. ההשוואות הנכונות הן אלה שמפיק כפתור EM Means. הרחבה על מבחני המשך תמצאו בערך ניתוחי המשך.

סינטקס

בדיקת הומוגניות השיפועים:

UNIANOVA Posttest BY Group WITH Pretest
  /METHOD=SSTYPE(3)
  /PRINT=ETASQ
  /DESIGN=Group Pretest Group*Pretest.

הניתוח עצמו, כולל ממוצעים מתוקננים והשוואות זוגיות:

UNIANOVA Posttest BY Group WITH Pretest
  /METHOD=SSTYPE(3)
  /INTERCEPT=INCLUDE
  /EMMEANS=TABLES(Group) WITH(Pretest=MEAN) COMPARE ADJ(BONFERRONI)
  /PRINT=DESCRIPTIVE ETASQ HOMOGENEITY
  /CRITERIA=ALPHA(.05)
  /DESIGN=Pretest Group.

שימו לב לסדר בשורת ה-DESIGN: המשתנה המלווה נכנס ראשון, כדי שהאפקט של הגורם ייבחן לאחר שהמשתנה המלווה כבר נלקח בחשבון.

איך קוראים את התוצאות

טבלת בדיקת השיפועים

בפלט הראשון, זה של בדיקת ההנחה, מחפשים שורה אחת בלבד:

Source df F Sig. Partial Eta Squared
Group 1 6.12 .015 .066
Pretest 1 48.30 <.001 .357
Group * Pretest 1 0.42 .519 .005

שורת האינטראקציה אינה מובהקת (p = .519), ולכן שיפועי הרגרסיה אחידים וההנחה מתקיימת. אם השורה הזו הייתה יוצאת מובהקת, למשל p = .008, המסקנה הייתה שהמשתנה המלווה פועל אחרת בכל קבוצה, והניתוח לא היה תקף.

הטבלה המרכזית

בפלט של הניתוח עצמו, טבלת Tests of Between-Subjects Effects היא הטבלה החשובה. כך נראית תוצאה מובהקת:

Source Type III SS df Mean Square F Sig. Partial Eta Squared
Pretest 41.28 1 41.28 49.16 <.001 .361
Group 8.94 1 8.94 10.65 .002 .109
Error 73.12 87 0.84

הקריאה מתחילה משורת המשתנה המלווה. ערך מובהק שם, כמו בדוגמה, מאשר שהיה טעם לפקח עליו. אחריו קוראים את שורת הגורם: כאן p = .002, כלומר קיים הבדל מובהק בין הקבוצות גם לאחר הפיקוח על ציון הפתיחה, וגודל האפקט בינוני עד גדול.

וכך נראית תוצאה שאינה מובהקת:

Source df F Sig. Partial Eta Squared
Pretest 1 44.71 <.001 .339
Group 1 1.03 .313 .012

המשתנה המלווה מובהק, כלומר ציון הפתיחה אכן ניבא את ציון הסיום, אבל הגורם אינו מובהק. המסקנה: לאחר שנוטרל ההבדל בנקודת הפתיחה, לא נותר הבדל בין הקבוצות. חשוב להבחין בין המצב הזה לבין מצב שבו לא נמצא אפקט כלל, ולציין בדיווח שהפיקוח בוצע.

טבלת הממוצעים המתוקננים

הטבלה Estimated Marginal Means מציגה את הממוצעים לאחר התקנון, לצד שגיאת התקן ורווח בר סמך.

Group Mean Std. Error 95% CI Lower 95% CI Upper
Intervention 3.41 0.14 3.14 3.68
Control 2.78 0.14 2.51 3.05

שימו לב שהערכים כאן שונים מהממוצעים הגולמיים שבטבלת Descriptive Statistics. ההבדל הוא בדיוק תוצאת התקנון, ואת הערכים האלה יש לדווח.

איך מדווחים על התוצאות לפי APA

דיווח תקין כולל תמיד ארבעה רכיבים: אזכור הבדיקה של הנחת השיפועים, תוצאת המשתנה המלווה, תוצאת הגורם עם גודל אפקט, והממוצעים המתוקננים.

נוסח לדוגמה, תוצאה מובהקת

"לבחינת ההבדל בין קבוצת ההתערבות לקבוצת הביקורת ברמת החרדה לאחר ההתערבות, בפיקוח על רמת החרדה בנקודת הפתיחה, נערך ניתוח שונות משותף. בדיקה מקדימה העלתה כי הנחת הומוגניות שיפועי הרגרסיה מתקיימת, F(1, 86) = 0.42, p = .519. המשתנה המלווה נמצא קשור באופן מובהק למשתנה התלוי, F(1, 87) = 49.16, p < .001, η²p = .36. לאחר הפיקוח עליו נמצא הבדל מובהק בין הקבוצות, F(1, 87) = 10.65, p = .002, η²p = .11. הממוצע המתוקנן בקבוצת ההתערבות (M = 3.41, SE = 0.14) היה גבוה מזה שבקבוצת הביקורת (M = 2.78, SE = 0.14)."

נוסח לדוגמה, תוצאה שאינה מובהקת

"ניתוח שונות משותף, בפיקוח על ציון הפתיחה, לא העלה הבדל מובהק בין הקבוצות בציון הסיום, F(1, 87) = 1.03, p = .313, η²p = .01. עם זאת, המשתנה המלווה נמצא מנבא מובהק של ציון הסיום, F(1, 87) = 44.71, p < .001, η²p = .34."

טבלה לדוגמה

טבלה 1: ממוצעים גולמיים וממוצעים מתוקננים של רמת החרדה לפי קבוצה

קבוצה n ממוצע גולמי (SD) ממוצע מתוקנן (SE) רווח בר סמך 95%
התערבות 45 3.52 (0.91) 3.41 (0.14) [3.14, 3.68]
ביקורת 45 2.67 (0.88) 2.78 (0.14) [2.51, 3.05]

הערה מתחת לטבלה: "הממוצעים המתוקננים מחושבים בפיקוח על רמת החרדה בנקודת הפתיחה (M = 3.08)."

לערכים קרובים במילון ראו ניתוח שונות רב-משתני (MANOVA) וניתוח שונות מעורב, ולסיוע מקצועי ראו את עמוד הניתוחים הסטטיסטיים.