ניתוח שונות רב-משתני (MANOVA)

ניתוח שונות רב-משתני, המוכר בשמו הלועזי MANOVA (Multivariate Analysis of Variance), הוא הרחבה של ניתוח השונות המוכר למצב שבו יש לחוקר יותר ממשתנה תלוי אחד. במקום להריץ ניתוח נפרד לכל משתנה תלוי, הניתוח בוחן את כל המשתנים התלויים יחד ומשיב על שאלה אחת: האם הקבוצות שאנחנו משווים נבדלות זו מזו בפרופיל הכולל שלהן. בעמוד זה נסביר מהו הניתוח, מתי נכון להשתמש בו, איך מריצים אותו ב-SPSS, איך קוראים את הפלט ואיך מדווחים על התוצאות לפי כללי APA.

תוכן עניינים

• מה זה ניתוח שונות רב-משתני (MANOVA)
• מתי משתמשים בניתוח שונות רב-משתני
• איך מבצעים MANOVA ב-SPSS, שלב אחר שלב
• איך קוראים את התוצאות
• איך מדווחים על התוצאות לפי APA

מה זה ניתוח שונות רב-משתני (MANOVA)

ניתוח שונות רגיל, כלומר ניתוח שונות חד כיווני או ניתוח שונות דו כיווני, בודק האם קיימים הבדלים בין קבוצות במשתנה תלוי אחד. ניתוח שונות רב-משתני עושה את אותו הדבר, אלא שהמשתנה התלוי אינו משתנה בודד אלא אוסף של כמה משתנים תלויים הנבחנים בו-זמנית.

הרעיון הסטטיסטי שבבסיס הניתוח הוא יצירת משתנה חדש, שאינו נמדד ישירות אלא מחושב מתוך הנתונים. המשתנה החדש הזה נקרא variate, והוא צירוף ליניארי משוקלל של המשתנים התלויים. המשקלים אינם נבחרים באופן שרירותי, אלא נקבעים כך שההפרדה בין הקבוצות תהיה מקסימלית. במילים אחרות, הניתוח שואל: אם נשלב את כל המשתנים התלויים לציון אחד, בצורה המיטבית ביותר עבור הבחנה בין הקבוצות, האם עדיין יישאר הבדל מובהק בין הקבוצות. אם התשובה חיובית, מסקנתנו היא שהקבוצות נבדלות זו מזו במערך המשתנים התלויים.

שתי סיבות עיקריות מצדיקות את השימוש בניתוח כזה במקום בסדרה של ניתוחי שונות נפרדים. הראשונה היא בקרה על שגיאה מצטברת. כל מבחן סטטיסטי שאנחנו מריצים נושא עמו סיכון של חמישה אחוזים לדחות השערת אפס נכונה. כאשר מריצים חמישה מבחנים נפרדים, ההסתברות המצטברת לטעות מסוג ראשון עולה הרבה מעבר לחמישה אחוזים. הניתוח הרב-משתני מספק מבחן אחד גורף, ורק אם הוא מובהק ממשיכים לבדיקות פרטניות. הסיבה השנייה היא ניצול המידע שבקשרים בין המשתנים התלויים. משתני תלות במחקר החברתי נוטים להיות מתואמים זה בזה. ניתוחים נפרדים מתעלמים מהמתאמים האלה, בעוד שהניתוח הרב-משתני משתמש בהם ולעתים חושף הבדל בין קבוצות שאף מבחן חד-משתני בודד לא היה מגלה.

הסטטיסטי המרכזי שהניתוח מפיק נקרא למדה של וילקס (Wilks' Lambda). הוא מבוסס על היחס בין השונות שאינה מוסברת על ידי חלוקת הקבוצות לבין השונות הכוללת, ומחושב מתוך הדטרמיננטות של מטריצות המכפלות הצולבות:

\[ \Lambda = \frac{|W|}{|W + B|} \]

כאשר \(W\) היא מטריצת השונויות המשותפות בתוך הקבוצות ו-\(B\) היא מטריצת השונויות המשותפות בין הקבוצות. שימו לב שהכיוון של המדד הפוך מהמקובל: ערך קרוב לאחד פירושו שהקבוצות כמעט אינן נבדלות, בעוד שערך קרוב לאפס מעיד על הבדל גדול. מכאן גם נגזר גודל האפקט, אטא בריבוע חלקי, לפי הנוסחה:

\[ \eta_p^2 = 1 – \Lambda^{1/s} \]

כאשר \(s\) הוא המינימום בין מספר המשתנים התלויים לבין דרגות החופש של הגורם. SPSS מחשב את הערך הזה עבורכם ואין צורך לחשב אותו ידנית.

לצד למדה של וילקס מדווחים בפלט שלושה מדדים נוספים: עקבת פילאי (Pillai's Trace), עקבת הוטלינג (Hotelling's Trace) והשורש הגדול ביותר של רוי (Roy's Largest Root). ברוב המקרים ארבעתם מובילים לאותה מסקנה. כאשר הם נחלקים, מקובל להעדיף את עקבת פילאי, משום שהיא העמידה ביותר להפרות של הנחות היסוד ולגדלי קבוצות לא שווים.

מתי משתמשים בניתוח שונות רב-משתני

השאלה הפרקטית עבור חוקר שאינו סטטיסטיקאי היא פשוטה: מתי מבנה הנתונים שלי מתאים לניתוח הזה. התשובה מורכבת משני תנאים בסיסיים.

התנאי הראשון נוגע למשתנים הבלתי תלויים. צריך להיות לפחות משתנה בלתי תלוי אחד קטגוריאלי, כלומר משתנה המחלק את הנבדקים לקבוצות: קבוצת התערבות מול קבוצת ביקורת, שלושה סוגי טיפול, ארבעה מגזרים, שני מגדרים. אפשר גם יותר ממשתנה קטגוריאלי אחד, ואז מדובר בניתוח רב-משתני דו-גורמי הבודק גם אינטראקציה.

התנאי השני נוגע למשתנים התלויים. צריכים להיות לפחות שני משתנים תלויים רציפים, כלומר בסולם רווח או מנה. ציוני שאלונים, מדדים פיזיולוגיים, ציוני מבחנים והערכות בסולם ליקרט מסוכם, כל אלה מתאימים. חשוב לא פחות: המשתנים התלויים צריכים להיות קשורים זה לזה מבחינה תיאורטית, ולייצג יחד תחום תוכן אחד. שלושה מדדים של רווחה נפשית הם מקרה קלאסי. שילוב של גובה, הכנסה וציון בבחינה לא יהיה הגיוני מבחינה מחקרית גם אם מבחינה טכנית התוכנה תריץ את הניתוח.

דוגמאות למצבים שבהם הניתוח מתאים

דוגמה ראשונה, מחקר התערבות. חוקרת מעוניינת לבדוק את השפעתה של תוכנית התערבות על מצבם הנפשי של משתתפים. היא מחלקת את המשתתפים לשלוש קבוצות (התערבות מלאה, התערבות מקוצרת, ביקורת) ומודדת בכל אחת מהן שלושה מדדים: חרדה, דיכאון ושביעות רצון מהחיים. שלושת המדדים קשורים זה לזה ומייצגים יחד את מצבו הנפשי של המשתתף. במקום שלושה ניתוחי שונות נפרדים, ניתוח רב-משתני אחד יבדוק האם קיים הבדל בין הקבוצות במצב הנפשי הכולל.

דוגמה שנייה, השוואה בין מגזרים. חוקר משווה בין ארבעה בתי ספר בארבעה תת-סולמות של שאלון אקלים בית ספרי. ארבעת התת-סולמות נמדדים באותו כלי, מתואמים זה בזה, ומייצגים יחד את המושג התיאורטי אקלים. הניתוח הרב-משתני בודק האם פרופיל האקלים שונה בין בתי הספר.

דוגמה שלישית, מערך דו-גורמי. חוקרת בודקת את השפעת המגדר וסוג התוכנית על שני מדדי מוטיבציה. כאן המערך כולל שני גורמים בלתי תלויים ושני משתנים תלויים, והניתוח יפיק שלוש שורות של תוצאות רב-משתניות: אפקט עיקרי למגדר, אפקט עיקרי לתוכנית ואינטראקציה ביניהם.

מתי לא כדאי להשתמש בניתוח

יש מצבים שבהם הניתוח הרב-משתני אינו הבחירה הנכונה. כאשר המשתנים התלויים אינם מתואמים כלל ואינם קשורים תיאורטית, אין הצדקה לאחד אותם, ועדיף להריץ ניתוחים נפרדים עם תיקון לריבוי השוואות. בקצה השני, כאשר המתאם בין המשתנים התלויים גבוה מאוד, מעל 0.90 בקירוב, נוצרת בעיה של רב-קוליניאריות והמשתנים למעשה מודדים את אותו הדבר. במקרה כזה עדיף לאחד אותם למדד יחיד או לוותר על אחד מהם. כאשר המשתנה התלוי הוא סדר או קטגוריאלי, יש לפנות למבחנים לא פרמטריים או לרגרסיה לוגיסטית. וכאשר יש רק משתנה תלוי אחד, הניתוח הנכון הוא ניתוח שונות רגיל או מבחן T.

הנחות היסוד של הניתוח

לפני שמריצים את הניתוח, כדאי לוודא שהנתונים עומדים בהנחות הבאות:

• אי-תלות בין התצפיות. כל נבדק תורם תצפית אחת, ואין קשר בין הנבדקים. אם הנתונים מקוננים, למשל תלמידים בתוך כיתות, ההנחה מופרת ויש לפנות למודלים ליניאריים מעורבים.
• נורמליות רב-משתנית. המשתנים התלויים מתפלגים נורמלית בכל קבוצה, וגם הצירוף שלהם מתפלג נורמלית. בפועל בודקים נורמליות של כל משתנה בנפרד ומסתמכים על משפט הגבול המרכזי כשגודל המדגם סביר.
• שוויון מטריצות השונות המשותפת. מבנה הקשרים בין המשתנים התלויים דומה בכל הקבוצות. נבדק באמצעות מבחן Box's M.
• שוויון שונויות. נבדק לכל משתנה תלוי בנפרד באמצעות מבחן Levene.
• קשר ליניארי בין המשתנים התלויים בתוך כל קבוצה.
• היעדר חריגים רב-משתניים קיצוניים. נבדק באמצעות מרחק מהלנוביס.
• גודל מדגם מספיק. מספר הנבדקים בכל קבוצה צריך לעלות על מספר המשתנים התלויים, ורצוי הרבה מעבר לכך. כלל אצבע מקובל הוא לפחות עשרים נבדקים בקבוצה הקטנה ביותר.

איך מבצעים MANOVA ב-SPSS, שלב אחר שלב

ב-SPSS הניתוח מבוצע דרך מודול המודל הליניארי הכללי. להלן המסלול המלא בתפריטים.

הכנת קובץ הנתונים

לפני הכול ודאו שהקובץ בנוי נכון. כל שורה מייצגת נבדק אחד. עמודה אחת מכילה את המשתנה הקטגוריאלי המסמן את השיוך לקבוצה, ומקודדת במספרים (1, 2, 3) עם תוויות ערך מתאימות בלשונית Variable View. עמודה נפרדת לכל משתנה תלוי, מוגדרת ברמת מדידה Scale.

הרצת הניתוח דרך התפריטים

1. בתפריט העליון בחרו Analyze, ואז General Linear Model, ואז Multivariate.
2. בחלון שנפתח, העבירו את כל המשתנים התלויים לתיבה Dependent Variables. זהו ההבדל המרכזי מניתוח שונות רגיל, שבו התיבה מקבלת משתנה אחד בלבד.
3. העבירו את המשתנה הקטגוריאלי לתיבה Fixed Factor(s). אם יש שני גורמים, העבירו את שניהם.
4. אם ברצונכם לפקח על משתנה רציף, כלומר לבצע MANCOVA, העבירו אותו לתיבה Covariate(s). הרחבה על העיקרון הזה תמצאו בערך ניתוח שונות משותף (ANCOVA).
5. לחצו על Options. סמנו את Descriptive statistics כדי לקבל ממוצעים וסטיות תקן, את Estimates of effect size כדי לקבל אטא בריבוע חלקי, ואת Homogeneity tests כדי לקבל את מבחן Box's M ואת מבחני Levene. לחצו Continue.
6. לחצו על EM Means. העבירו את הגורם לתיבה הימנית, סמנו Compare main effects ובחרו Bonferroni בתפריט ההתאמה. כך תקבלו השוואות זוגיות מתוקנות. לחצו Continue.
7. לחצו על Post Hoc אם הגורם כולל שלוש קבוצות או יותר. העבירו את הגורם לתיבה הימנית ובחרו מבחן, למשל Tukey כאשר גדלי הקבוצות דומים או Games-Howell כאשר השונויות אינן שוות. פירוט על סוגי המבחנים תמצאו בערך ניתוחי המשך. לחצו Continue.
8. לחצו על Plots אם ברצונכם גרף אינטראקציה, והעבירו את הגורמים לצירים המתאימים.
9. לחצו OK. הפלט ייפתח בחלון התוצאות.

בדיקת חריגים רב-משתניים

SPSS אינו מספק את מרחק מהלנוביס ישירות בחלון הניתוח הרב-משתני, ולכן משתמשים בעקיפה קטנה: בחרו Analyze, ואז Regression, ואז Linear. הכניסו את מספר הנבדק כמשתנה תלוי ואת כל המשתנים התלויים האמיתיים כמשתנים בלתי תלויים, לחצו על Save וסמנו Mahalanobis תחת Distances. בעמודה החדשה שתיווצר בקובץ, ערכים גבוהים במיוחד מסמנים תצפיות חריגות. את ערך הסף משווים להתפלגות חי בריבוע עם דרגות חופש כמספר המשתנים התלויים ברמת מובהקות של 0.001.

סינטקס

עבור מי שמעדיף לעבוד עם פקודות, זהו הסינטקס המקביל לתהליך שתואר. ניתוח חד-גורמי עם שלושה משתנים תלויים:

GLM Anxiety Depression Wellbeing BY Group
  /METHOD=SSTYPE(3)
  /INTERCEPT=INCLUDE
  /POSTHOC=Group(TUKEY)
  /EMMEANS=TABLES(Group) COMPARE ADJ(BONFERRONI)
  /PRINT=DESCRIPTIVE ETASQ HOMOGENEITY
  /CRITERIA=ALPHA(.05)
  /DESIGN=Group.

ניתוח דו-גורמי הכולל אינטראקציה:

GLM Motivation1 Motivation2 BY Gender Program
  /METHOD=SSTYPE(3)
  /EMMEANS=TABLES(Gender*Program)
  /PRINT=DESCRIPTIVE ETASQ HOMOGENEITY
  /DESIGN=Gender Program Gender*Program.

ניתוח רב-משתני עם פיקוח על משתנה רציף (MANCOVA):

GLM Anxiety Depression Wellbeing BY Group WITH Age
  /METHOD=SSTYPE(3)
  /EMMEANS=TABLES(Group) WITH(Age=MEAN) COMPARE ADJ(BONFERRONI)
  /PRINT=DESCRIPTIVE ETASQ HOMOGENEITY
  /DESIGN=Age Group.

איך קוראים את התוצאות

הפלט של הניתוח כולל כמה טבלאות. נעבור עליהן לפי סדר הקריאה המומלץ.

טבלת Box's M

הטבלה הראשונה שכדאי לבדוק היא Box's Test of Equality of Covariance Matrices. כאן, בניגוד לאינטואיציה, אנחנו מקווים לתוצאה שאינה מובהקת, משום שהשערת האפס היא ששוויון המטריצות מתקיים.

Box's M	F	df1	df2	Sig.
14.32	1.16	12	18453.7	.308

בדוגמה הזו הערך אינו מובהק (p = .308), ולכן ההנחה מתקיימת ואפשר להסתמך על למדה של וילקס. המבחן רגיש מאוד לגודל מדגם, ולכן במדגמים גדולים הוא כמעט תמיד יוצא מובהק. אם הוא יצא מובהק אך גדלי הקבוצות דומים, אפשר להמשיך תוך דיווח על עקבת פילאי במקום על למדה של וילקס.

טבלת המבחנים הרב-משתניים

זוהי הטבלה המרכזית, Multivariate Tests. כך נראה פלט עם תוצאה מובהקת:

Effect	Value	F	Hypothesis df	Error df	Sig.	Partial Eta Squared
Pillai's Trace	.284	4.87	6	172	<.001	.145
Wilks' Lambda	.723	5.02	6	170	<.001	.151
Hotelling's Trace	.371	5.19	6	168	<.001	.156
Roy's Largest Root	.338	9.69	3	86	<.001	.253

הקריאה פשוטה: מסתכלים על השורה של Wilks' Lambda, בודקים את עמודת Sig. ואם הערך קטן מ-0.05 המסקנה היא שקיים הבדל מובהק בין הקבוצות במערך המשתנים התלויים. עמודת Partial Eta Squared מספרת כמה גדול ההבדל. כללי האצבע המקובלים הם 0.01 לאפקט קטן, 0.06 לאפקט בינוני ו-0.14 לאפקט גדול. בדוגמה שלפנינו מדובר באפקט גדול.

וכך נראה פלט שבו התוצאה אינה מובהקת:

Effect	Value	F	Hypothesis df	Error df	Sig.	Partial Eta Squared
Pillai's Trace	.041	0.60	6	172	.730	.021
Wilks' Lambda	.959	0.59	6	170	.735	.021

כאן ערך המובהקות גבוה מ-0.05, ולכן אין עדות להבדל בין הקבוצות. במקרה כזה עוצרים. אין להמשיך לניתוחים חד-משתניים ולחפש בהם ממצא מובהק, משום שזו בדיוק השגיאה שהניתוח הרב-משתני נועד למנוע. הסבר רחב יותר על משמעות ערך המובהקות תמצאו בערך מובהקות.

טבלת Levene

הטבלה Levene's Test of Equality of Error Variances בודקת שוויון שונויות לכל משתנה תלוי בנפרד. גם כאן מקווים לערכים לא מובהקים. אם משתנה מסוים יוצא מובהק, כדאי להיזהר בפרשנות התוצאה החד-משתנית שלו ולהעדיף מבחן המשך שאינו מניח שוויון שונויות.

טבלת האפקטים החד-משתניים

רק אם המבחן הרב-משתני יצא מובהק, עוברים לטבלה Tests of Between-Subjects Effects כדי לזהות אילו מהמשתנים התלויים אחראים להבדל.

Dependent Variable	df	Mean Square	F	Sig.	Partial Eta Squared
Anxiety	2	28.44	7.93	.001	.155
Depression	2	19.07	5.21	.007	.108
Wellbeing	2	3.12	0.84	.436	.019

בדוגמה זו ההבדל בין הקבוצות בא לידי ביטוי בחרדה ובדיכאון אך לא בשביעות הרצון. חשוב לתקן את רמת המובהקות במבחנים החד-משתניים בשל ריבוי ההשוואות. תיקון בונפרוני פשוט מחלק את 0.05 במספר המשתנים התלויים, כלומר במקרה שלנו הסף הוא 0.017. לפי הסף המתוקן, החרדה והדיכאון עדיין מובהקים.

טבלת מבחני ההמשך

השלב האחרון הוא זיהוי הקבוצות הנבדלות. טבלת Multiple Comparisons מציגה את ההפרשים בין כל זוג קבוצות, את שגיאת התקן ואת ערך המובהקות המתוקן. שם מגלים, למשל, שקבוצת ההתערבות המלאה נבדלת מקבוצת הביקורת אך לא מקבוצת ההתערבות המקוצרת.

איך מדווחים על התוצאות לפי APA

הדיווח בנוי משלושה רבדים: תיאור הנתונים והבדיקות המקדימות, התוצאה הרב-משתנית, והתוצאות החד-משתניות ומבחני ההמשך.

הכללים הפורמליים

• סימני הסטטיסטים מודגשים בכתב נטוי באנגלית: F, p, M, SD, וכן הסימן של למדה של וילקס.
• דרגות החופש מופיעות בסוגריים אחרי הסטטיסטי, בסדר של דרגות חופש של ההשערה ואחריהן דרגות חופש של השגיאה.
• ערכי מובהקות מדווחים בשני או שלושה מקומות אחרי הנקודה, בלי אפס מוביל. ערך קטן מאוד מדווח כ-p < .001 ולא כאפס.
• תמיד מדווחים גודל אפקט לצד תוצאת המבחן.
• מספר המקומות אחרי הנקודה אחיד לאורך כל הדיווח.

נוסח לדוגמה, תוצאה מובהקת

"לבחינת ההבדלים בין שלוש הקבוצות בשלושת מדדי המצב הנפשי נערך ניתוח שונות רב-משתני. בדיקת ההנחות העלתה כי מטריצות השונות המשותפת שוות בין הקבוצות, Box's M = 14.32, F(12, 18453.70) = 1.16, p = .308. נמצא הבדל רב-משתני מובהק בין הקבוצות, Wilks' Λ = .72, F(6, 170) = 5.02, p < .001, η²p = .15. ניתוחי המשך חד-משתניים, בתיקון בונפרוני לרמת מובהקות של .017, העלו הבדל מובהק בין הקבוצות ברמת החרדה, F(2, 87) = 7.93, p = .001, η²p = .16, וברמת הדיכאון, F(2, 87) = 5.21, p = .007, η²p = .11, אך לא בשביעות הרצון מהחיים, F(2, 87) = 0.84, p = .436. השוואות זוגיות בתיקון בונפרוני הראו כי רמת החרדה בקבוצת ההתערבות המלאה (M = 2.14, SD = 0.68) הייתה נמוכה במובהק מזו שבקבוצת הביקורת (M = 3.02, SD = 0.74), p < .001, ואילו ההבדל בינה לבין קבוצת ההתערבות המקוצרת לא היה מובהק, p = .214."

נוסח לדוגמה, תוצאה שאינה מובהקת

"ניתוח שונות רב-משתני לא העלה הבדל מובהק בין שלוש הקבוצות במערך מדדי המצב הנפשי, Wilks' Λ = .96, F(6, 170) = 0.59, p = .735, η²p = .02. לאור התוצאה הרב-משתנית שאינה מובהקת, לא נערכו ניתוחי המשך חד-משתניים."

טבלת ממוצעים לדוגמה

טבלה 1: ממוצעים וסטיות תקן של המשתנים התלויים לפי קבוצה

משתנה	התערבות מלאה (n = 30) M (SD)	התערבות מקוצרת (n = 30) M (SD)	ביקורת (n = 30) M (SD)
חרדה	2.14 (0.68)	2.48 (0.71)	3.02 (0.74)
דיכאון	1.92 (0.59)	2.21 (0.63)	2.57 (0.66)
שביעות רצון	4.31 (0.82)	4.18 (0.79)	4.09 (0.85)

טבלת תוצאות לדוגמה

טבלה 2: תוצאות ניתוחי ההמשך החד-משתניים

משתנה תלוי	df	F	p	η²p
חרדה	2, 87	7.93	.001	.16
דיכאון	2, 87	5.21	.007	.11
שביעות רצון	2, 87	0.84	.436	.02

הערה מתחת לטבלה: "רמת המובהקות תוקנה לפי בונפרוני, α = .017."

אם אתם זקוקים לסיוע בביצוע הניתוח או בפרשנות התוצאות, תוכלו לקרוא על שירותי הניתוח הסטטיסטי שלנו, ולעיין בערכים נוספים במילון המונחים.